一阶齐次微分方程通解推导（微分方程的基本概念 通解与特解）

微分方程： 一阶微分方程、二阶微分方程、三阶微分方程……

斜率y'=dy/dx=2x y=∫2xdx 曲线方程y=x^2+C

因其通过点（1，2）代入曲线方程得C=1

所以y=x^2+1

a=d^2S/dt^2=－0.4 通过二阶导加速度可以求一阶导v=dS/dt=-0.4t+C1 通过速度v可以求原函数路程S=-0.2t^2+C1t+C2

当t=0时，S=0，v=20，代入一阶导得C1=20，代入二阶导得C2=0

故 v=-0.4t+20,S=-0.2t^2=20t

基本概念：含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系方程（含有未知函数的微分或导数的方程）叫微分方程。

①微分方程的解：方程的解中含有任意常数，如果微分方程的接种含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同时，这样的解叫做微分方程的通解。

给通解中任意常数以确定值的解叫微分方程的特解.为了得到满足要求的特解，必须根据要对微分方程附加一定的条件，这样的条件叫做初始条件。

②微分方程的初始条件

一阶方程的初始条件：

二阶方程的初始条件：

③微分方程的阶数

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。一个n阶方程的一般形式可表示为：F(x,y,y',…y^<n>)=0

这里x为自变量，y是x的未知函数，而y',y",…y^(n)依次是y的一阶、二阶，……，n阶导数。

例1: 求微分方程dy/dx=3x^2的通解，并求满足初值条件y|x=2=1的特解。

解：直接积分得方程的通解为：y=x^3+C

代入初值条件：当x=2，y=1解得C=-7

满足初值条件的特解为y=x^3-7

例2： 验证：函数x=C1coskt+C2sinkt是微分方程d^2x/dt^2+k^2x=0的解.并满足初始条件x|t=0=A,dx/dt|t=0=0的特解.并求满足初始条件x|t=0=0的特解.

解：因为dx/dt=-kC1sinkt+kC2coskt,d^2/dt^2=-k^2C1coskt

-k^2C2sinkt=-k^2x,

函数x=C1coskt+C2sinkt有两个任意常数，且是方程的解。故是方程的通解.

代入初值条件：x|t=0=A,dx/dt|t=0=0

C1=A,C2=0,代入函数x的表达式中，得到特解:x=Acoskt

小结：微分方程非初值问题（即无初始条件）的解是通解，其几何图形是曲线族；微分方程初值问题的解是特解，其图形是一条曲线.反过来，微分方程反映了满足此方程的曲线（族）的特征.